设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由,设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由a1,a2,...,am线性表示,且表示法
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 21:43:29
![设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由,设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由a1,a2,...,am线性表示,且表示法](/uploads/image/z/5391440-8-0.jpg?t=%E8%AE%BEn%E7%BB%B4%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84a1%2Ca2%2C...%2Cam%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%2Ca1%2Ca2%2C...%2Cam%2CB%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3%2C%E8%AF%95%E7%94%A8%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E4%B8%8D%E5%90%8C%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8EB%E5%8F%AF%E7%94%B1%2C%E8%AE%BEn%E7%BB%B4%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84a1%2Ca2%2C...%2Cam%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%2Ca1%2Ca2%2C...%2Cam%2CB%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3%2C%E8%AF%95%E7%94%A8%E4%B8%A4%E7%A7%8D%E4%B8%8D%E5%90%8C%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%AF%81%E6%98%8EB%E5%8F%AF%E7%94%B1a1%2Ca2%2C...%2Cam%E7%BA%BF%E6%80%A7%E8%A1%A8%E7%A4%BA%2C%E4%B8%94%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%B3%95)
设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由,设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由a1,a2,...,am线性表示,且表示法
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设n维向量组a1,a2,...,am线性无关,a1,a2,...,am,B线性相关,试用两种不同方法证明B可由a1,a2,...,am线性表示,且表示法唯一.
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证一.
由于 a1,a2,...,am,B线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
则必有k≠0.
否则k1a1+k2a2+...+kmam=0,
而a1,a2,...,am线性无关,
所以k1=k2=...=km=0
这与 k1,k2,...,km,k 不全为0矛盾.
故有 B=(-1/k)(k1a1+k2a2+...+kmam)
即 B可由a1,a2,...,am线性表示.
设 B = k1a1+k2a2+..+kmam
B = k1'a1+k2'a2+..+km'am
则 (k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0
由 a1,a2,...,am线性无关知
ki-ki' = 0,即 ki = ki',i=1,2,...,m
所以表示法唯一.
证二.反证法.
由已知 a1,a2,...,am,B线性相关
所以存在一组不全为0的数 k1,k2,...,km,k 使得
k1a1+k2a2+...+kmam+kB=0
假如B不能由a1,a2,...,am线性表示
则必有k=0 (k≠0时如上就能表示)
所以k1a1+k2a2+...+kmam=0
且k1,k2,...,km不全为0
这与已知a1,a2,...,am线性无关矛盾.
所以 B可由a1,a2,...,am线性表示