2sin²α+sin²β=3sinα,则sin²α+sin²β的取值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 11:40:32
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2sin²α+sin²β=3sinα,则sin²α+sin²β的取值范围是
2sin²α+sin²β=3sinα,则sin²α+sin²β的取值范围是
2sin²α+sin²β=3sinα,则sin²α+sin²β的取值范围是
sin²α+sin²β=3sinα-sin²α
sin²β=3sinα-2sin²α
∵0≤sin²β≤1 ∴ 0≤3sinα-2sin²α≤1 ∴ 0 ≤sinα≤1/2 或 sinα=1
令 t=sinα ( 0 ≤ t ≤1/2 或 t=1 ) f(t)=3t-t²
∴ f(t)=3t-t² 对称轴 t=3/2
∴ 0 ≤ t ≤ 1/2 时 f(t) 单调递增
0 ≤ f(t) ≤5/4 或 f(t)=2
∴ 0 ≤ sin²α+sin²β ≤5/4 或sin²α+sin²β=2
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(sinβ)^2=3sinα-2(sinα)^2
(sinα)^2+(sinβ)^2=(sinα)^2+3sinα-2(sinα)^2=-(sinα-3/2)^2+9/4
当sinα=-1时,-(sinα-3/2)^2+9/4取得最小值-4;当sinα=1时,-(sinα-3/2)^2+9/4取得最大值2。
所以,(sinα)^2+(sinβ)^2的取值范围是[-4,2]。...
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(sinβ)^2=3sinα-2(sinα)^2
(sinα)^2+(sinβ)^2=(sinα)^2+3sinα-2(sinα)^2=-(sinα-3/2)^2+9/4
当sinα=-1时,-(sinα-3/2)^2+9/4取得最小值-4;当sinα=1时,-(sinα-3/2)^2+9/4取得最大值2。
所以,(sinα)^2+(sinβ)^2的取值范围是[-4,2]。
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