α∈锐角,证明sinα<α<tanα老师上课把正切线平移到这里,这样可以证明到tanα>sinα,然后老师利用弦与弧长的关系证明到正弦线是小于α的弧长的,正切线大于α的弧长的还可以证明到sinα或者
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 22:44:34
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α∈锐角,证明sinα<α<tanα老师上课把正切线平移到
这里,这样可以证明到tanα>sinα,然后老师利用弦与弧长的关系证明到正弦线是小于α的弧长的,正切线大于α的弧长的
还可以证明到sinα或者tanα与cosα的关系吗
α∈锐角,证明sinα<α<tanα老师上课把正切线平移到这里,这样可以证明到tanα>sinα,然后老师利用弦与弧长的关系证明到正弦线是小于α的弧长的,正切线大于α的弧长的还可以证明到sinα或者
做半径为R的圆
在圆上做半径OA、OB,使∠AOB=α,并且0<α<π/2
做AC垂直OB 于C,连接AB
做BD⊥OB,交OA的延长线于D
∵AC⊥OB,BD⊥OB
∴△OAC,△BAC,△ODB都是直角三角形
根据三角函数的定义得:
sinα=AC/OA=AC/R,AC=Rsinα
tanα=BD/OB=BD/R,BD=Rtanα
△OAB的面积S1=1/2*OB*AC=1/2*R*Rsinα=sinα*R^2/2
扇形OAB的面积S2=πR^2*{α/(2π)}=αR^2/2
△ODB的面积S3=1/2*OB*BD=1/2*R*Rtanα=tanα*R^2/2
扇形OAB的面积 = △OAB的面积 + 拱形AB的面积
△ODB的面积 = 扇形OAB的面积 + △OBD 中园外部分ADB的面积
∴S1<S2<S3
∴sinα*R^2/2 < αR^2/2 < tanα*R^2/2
∴sinα < α < tanα