如图,在三棱锥P-ABC中,角APB=90度,角PAB=60度,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 13:16:41
![如图,在三棱锥P-ABC中,角APB=90度,角PAB=60度,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值.](/uploads/image/z/8856783-63-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5P%EF%BC%8DABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92APB%EF%BC%9D90%E5%BA%A6%2C%E8%A7%92PAB%EF%BC%9D60%E5%BA%A6%2CAB%EF%BC%9DBC%EF%BC%9DCA%2C%E7%82%B9P%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%E5%86%85%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1O%E5%9C%A8AB%E4%B8%8A.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFPC%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85ABC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92B%EF%BC%8DAP%EF%BC%8DC%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC.)
如图,在三棱锥P-ABC中,角APB=90度,角PAB=60度,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值.
如图,在三棱锥P-ABC中,角APB=90度,角PAB=60度,AB=BC=CA,点P在平面ABC内
的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值.
如图,在三棱锥P-ABC中,角APB=90度,角PAB=60度,AB=BC=CA,点P在平面ABC内的射影O在AB上.(1)求直线PC与平面内ABC所成角的正切值;(2)求二面角B-AP-C的正切值.
(1)∵ PO⊥面ABC,角APB=90度,角PAB=60度
∴ PO=根号(3)/4*AB
∵ AB=BC=CA
∴ CO=根号[(1/4)^2+(根号(3)/2)^2]*AB
=根号(13)/4*AB
∴直线PC与平面内ABC所成角的正切值=PO/CO=根号(3/13)
(2)设AP的中点为M,AB的中点为N,连接CM、CN、MN
则:MN//PB
∴ MN⊥AP
AM=AP/2=1/4*AB
过M做MQ⊥AB,交AB于Q
则:MQ⊥CQ
MQ=1/2*PO=1/2*根号(3)/4*AB=根号(3)/8*AB
CQ=根号[(3//8)^2+((根号(3)/2)^2]*AB
=根号(57)/8*AB
∴ CM=根号(MQ^2+CQ^2)=根号(15)/4*AB
∵AM^2+CM^2=AC^2
∴CM⊥AP
∴二面角B-AP-C的正切值即∠CMN的正切值
∵MN=1/2*PB=根号(3)/4*AB
CN=根号(3)/2*AB
即:CN⊥MN
∴二面角B-AP-C的正切值=CN/MN
=[根号(3)/2*AB] / [根号(3)/4*AB]
=2