在周长为16的三角形PMN中,MN=6则向量PM*向量PN的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:50:54
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在周长为16的三角形PMN中,MN=6则向量PM*向量PN的取值范围
在周长为16的三角形PMN中,MN=6则向量PM*向量PN的取值范围
在周长为16的三角形PMN中,MN=6则向量PM*向量PN的取值范围
过程省略向量2字:
|PM|+|MN|+|PN|=16,而:|MN|=6,故:|PM|+|PN|=10,即:|PM|*|PN|≤25
PM·PN=|PM|*|PN|*cos<∠MPN>=|PM|*|PN|*(|PM|^2+|PN|^2-36)/(2|PM|*|PN|)
=(|PM|^2+|PN|^2-36)/2=(|PM|+|PN|)^2/2-|PM|*|PN|-18=50-18-|PM|*|PN|=32-|PM|*|PN|
≥32-25=7,即:PM·PN≥7
中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学中学
MN=PN-PM
MN^2=PN^2+PM^2-2PM*PN
2PM*PN=PM^2+PN^2-36
PM^2+PN^2=[(PM+PN)^2+(PM-PN)^2]/2≥[(PM+PN)^2/2=50
PM^2+PN^2=[(PM+PN)^2+(PM-PN)^2]/2<[100+36]/2=68
(50-36)/2
设PM=x,则PN=10-x,∠MPN=θ
所以
PM•PN=x(10-x)cosθ
在△PMN中,由余弦定理得cosθ=
(10-x)^2+x^2-36/2(10-x)x
又
x+6>10-x 10-x+6>x
,解得2<x<8
所以 PM•PN=x^2-10x+32(2<x<8),是一个开口向上的二次...
全部展开
设PM=x,则PN=10-x,∠MPN=θ
所以
PM•PN=x(10-x)cosθ
在△PMN中,由余弦定理得cosθ=
(10-x)^2+x^2-36/2(10-x)x
又
x+6>10-x 10-x+6>x
,解得2<x<8
所以 PM•PN=x^2-10x+32(2<x<8),是一个开口向上的二次函数,对称轴为x=5
当x=5时最小为7,当x=2或x=8时最大为16
故答案为[7,16)
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