快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?(请给出过程,谢谢)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 01:31:31
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快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?(请给出过程,谢谢)
快,一道数学题,来救命啊!
设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?(请给出过程,谢谢)
快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?(请给出过程,谢谢)
当x≥0时,f(x)=x²
∵函数是奇函数
∴当x<0时,f(x)=-x²
∴f(x)= {x² x≥0 -x² x<0,
∴f(x)在R上是单调递增函数,
且满足2f(x)=f(√2x),
∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(√2x)在[t,t+2]恒成立,
∴x+t≥√2x在[t,t+2]恒成立,
即:x≤(1+√2)t在[t,t+2]恒成立,
∴t+2≤(1+√2)t
解得:t≥√2,
故答案为:[√2,+∞).
由已知,x小于0时,f(x)=-x²
(1)若t> 0 , 由 f(x+t)≥2f(x) ,
有 (x+t)² ≥2x²
│x+t│≥ (√2)*│x│ ①
由t>0,x∈[t,t+2],则x>0,x+t>0
解得 x ≥[(√2)-1]*t,若设g(t)=[(√2)-1]*t为一次函数,要不等式恒成立,只需要x=t和x=...
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由已知,x小于0时,f(x)=-x²
(1)若t> 0 , 由 f(x+t)≥2f(x) ,
有 (x+t)² ≥2x²
│x+t│≥ (√2)*│x│ ①
由t>0,x∈[t,t+2],则x>0,x+t>0
解得 x ≥[(√2)-1]*t,若设g(t)=[(√2)-1]*t为一次函数,要不等式恒成立,只需要x=t和x=t+2处不等式成立
x=t 时,① 可写成
│t+t│≥ (√2)*│t│
即不等式① 恒成立
x=t+2 时,① 可写成
│t+2+t│≥ (√2)*│t+2│
解得 t ≥√2
由于在区间[0,+∞)内f(x)严格单调递增, 故 t≥√2 时, 不等式 f(x+t)大于等于2f(x)恒成立
(2)若t<0, t+2>0, 即 -2 < t < 0 ,
当 t≤x<0 时,由
f(x+t)≥2f(x) ,
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ②
x=t 时,②可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立,故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于(-2,0)
(3)若t≤ -2
当 t ≤x
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ③
x=t 时,③ 可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立,故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于(-∞ , -2]
综上所述, t ≥ √2 ,即t 的取值范围为[√2, +∞ )
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